Die formale und philosophische Theorie der Formlogik
funded by Young Scholar Fund of the University of Konstanz
Project by Wolfgang Freitag
in cooperation with Alexandra Zinke
1. Summary
In diesem Forschungsprojekt sollen Syntax und Semantik für eine Verallgemeinerung der Prädikatenlogik erstellt werden. Die Grundidee der Generalisierung ist die Ersetzung der syntaktischen Zweiteilung, die in der Prädikatenlogik in Form der Unterscheidung zwischen Funktion1 und Argument besteht, durch eine egalitäre Konzeption, in welcher jeder elementare Ausdruck sowohl Funktion als auch Argument ist. Das resultierende logische System soll also zunächst syntaktisch nicht eingeschränkt werden:2 Jeder Ausdruck kann mit einer beliebigen Anzahl beliebiger Ausdrücke zu einer Formel kombiniert werden.
Auch in der Semantik werden alle Argument- und Relationsausdrücke gleich behandelt; jeder dieser Ausdrücke hat einen semantischen Referenzgegenstand,3 d.h. eine Intension.4 Den einzelnen Ausdrücken wird keine Extension mehr zugeordnet. Stattdessen wird die Extension als eine Menge von geordneten Tupeln der Referenzgegenstände bestimmt; sie liefert dadurch die wahren Sätze des Systems.
Darauf aufbauend soll die Vollständigkeit dieser minimalsyntaktischen Logik gezeigt werden. Abschließend soll bewiesen werden, dass die Vollständigkeit unter beliebigen syntaktischen Beschränkungen, z.B. denen der Prädikatenlogik, erhalten bleibt.
Die minimalsyntaktische Logik gründet auf neutraleren ontologischen Voraussetzungen als die Prädikatenlogik und ist allgemeiner als diese. Doch kann noch mehr geleistet werden: Durch die in einem zweiten Schritt auf Basis der minimalsyntaktischen Logik einführbaren syntaktischen Beschränkungen können ontologische/modale Verhältnisse syntaktisch abgebildet werden. So erhält man die allgemeine Formlogik – eine Logik, die schon auf der Syntaxebene auf verschiedenste, dem jeweiligen Gegenstandsbereich angemessene Weise ausgestaltet werden kann, um so dessen modale Strukturen erfassen zu können.
Nach Erreichung der formallogischen Ziele sollen auch einige Implikationen für die philosophische Semantik und die Ontologie entwickelt werden.
2. State of Research
Die Prädikatenlogik erster Stufe ist ein Standardinstrument der Philosophie und der Mathematik.
Die bisher eingeführten Verallgemeinerungen der erststufigen Logik sind zumeist höherstufige Logiken, deren Problem i.A. darin besteht, dass sie unvollständig sind, d.h. dass nicht alle Sätze, die in ihnen wahr sind, bewiesen werden können (folgt im Wesentlichen aus Gödel 1931). Des Weiteren bauen höherstufige Logiken auf der Prädikatenlogik auf, so dass sie deren ontologische und semantische Vorentscheidungen unhinterfragt übernehmen.
Ebensolches gilt für die sortalen Logiken (z.B. Freund 2000): Zwar postulieren diese Einschränkungen der Syntax, welche in bestimmten Fällen ähnliche Auswirkungen wie die formalen Beschränkungen der Formlogik haben, doch auch sie lösen sich nicht von den Vorentscheidungen der Prädikatenlogik.
Meiner Kenntnis nach gibt es noch keine logischen Systeme, die eine Verallgemeinerung in meinem Sinne anstreben: vollständige quantorenlogische Kalküle, bei denen Relations- und Individuenausdrücke als gleichartig verstanden werden.
3. Problem, Objectives and Program
3.1 Problem
Seit Platon und Aristoteles5 herrscht in der Philosophie die Ansicht, dass es zwei Arten von Entitäten gibt: Individuen und Eigenschaften (oder Relationen). Aus diesem ontologischen Dualismus entstehen die klassischen ontologischen Probleme und Fragestellungen (z.B. das Universalienproblem, der Realismus und der Nominalismus). Formallogisch spiegelt sich diese Zweitelung in der durch Gottlob Frege begründeten Prädikatenlogik (erster Stufe) wieder, die das Standardsystem für Quantorenlogiken bildet.6
Frege macht eine Unterscheidung zwischen Relations- und Argumentausdrücken, die der zwischen Individuen und Eigenschaften entspricht. Diese Unterscheidung ist die Basis für die syntaktischen Beschränkungen des Elementarsatzes.7 Im Wesentlichen gilt folgende Regel: Elementarsätze sind alle Anwendungen eines n-stelligen Relationsausdrucks auf n Argumentausdrücke. Der syntaktischen Zweiteilung wird mit der Tarski-Semantik, die die Standardsemantik ist, eine semantische Zweiteilung zur Seite gestellt (Tarski 1935). Eine Interpretationsfunktion weist den Argumentausdrücken jeweils einen Gegenstand aus dem Gegenstandsbereich zu. Den Relationsausdrücken aber wird eine Menge von Gegenständen aus dem Gegenstandsbereich, eine Extension, zugeordnet. Die Standardlogik basiert also auf einem syntaktischen und semantischen Dualismus, der den traditionellen ontologischen Dualismus von Individuen und Eigenschaften abbilden soll. Neuere Forschung jedoch hinterfragt genau diesen. In Fraser MacBride 2005 und, unabhängig davon, in Freitag 2005 und Freitag 2007 werden die verschiedenen vorgeschlagenen Unterscheidungskriterien als nicht tauglich ausgewiesen. Ohne ein Unterscheidungskriterium aber sollte nicht von unterschiedlichen Gegenstandstypen ausgegangen werden. Ich bin überzeugt, dass der traditionelle Dualismus zwischen Individuen und Eigenschaften nicht haltbar ist. In jedem Fall erfordert die ontologische Revision auch eine logische – insofern die Logik die ontologische Situation abbilden soll. Die Prädikatenlogik erster Stufe kann nicht der formallogische Ausgangspunkt philosophischer Überlegungen sein. Die Aufgabe besteht darin, eine Logik zu entwerfen, welche die als problematisch erwiesenen ontologischen Annahmen nicht macht.
Eine solche Logik macht keinen Unterschied zwischen den verschiedenen Satzkonstituenten. Alle Terme sind von derselben Art. Jedoch können in einem zweiten Schritt syntaktische Beschränkungen eingeführt werden, die die jeweils erwünschten ontologischen Vorannahmen widerspiegeln.
Die Befreiung der Logik von den problematischen dualistischen Vorannahmen ist schon ein großer Gewinn. Doch ergeben sich durch die Auflösung des Dualismus weitere Vorteile: durch die Syntax können in der Formlogik Modalitäten auf einfache und adäquate Weise wiedergegeben werden und durch die egalitäre Semantik können Wahrheit und Referenz strikt auseinandergehalten werden, denn auch den Prädikaten wird ja wie den Individuenausdrücken eine Intension zugeordnet. Wahrheit wird dann weiterhin über die Extension bestimmt. So herrscht eine klare Trennng zwischen Referenz (Intension) und Wahrheit (Extension).
3.2 Forschungshypothesen und Ziele
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Man kann eine vollständige Logik entwickeln, die keine ontologischen Vorannahmen bezüglich der Kategorisierungen der Gegenstände macht: die minimalsyntaktische Logik.
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Diese minimalsyntaktische Logik kann man beliebig syntaktisch beschränken, indem man die logischen Kombinationsmöglichkeiten, die ‚Formen‘, der im Elementarsatz vorkommenden Terme bestimmt. So erhält man eine Formlogik. Jede Formlogik mit einem Standardkalkül ist wiederum vollständig.
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Die Prädikatenlogik erster Stufe stellt einen Speziallfall einer solchen Beschränkung dar.
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Die syntaktische Einschränkung beschränkt den Bereich der möglichen Wahrheiten. Jede Formlogik ist also eine modale Logik.
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Man kann eine Meta-Regel angeben, die, in Abhängigkeit von der Art der durch die Logik zu beschreibenden Gegenstände, die syntaktischen Beschränkungen so wählt, dass sie den ontologischen Beschränkungen der Gegenstände entspricht. Eine solcherart konstruierte Logik wäre modal adäquat.
3.3 Arbeitsprogramm
Gemäß den oben angegebenen Thesen werden die verschiedenen Arbeitsschritte nacheinander folgen. Ich werde hier nur das Arbeitsprogramm für die Thesen (1) und (2) skizzieren. Die anderen Thesen werden innerhalb dieser Skizzen erwähnt. Ich will vorausschicken, dass sich die Unterscheidungen zur Prädikatenlogik nur auf Elementarsätze beziehen. Die Syntax und Semantik von komplexen Sätzen wird – in Abhängigkeit von den Elementarsätzen – genauso bestimmt wie in der Prädikatenlogik. Die Diskussion muss also nur in Bezug auf nicht-komplexe Sätze geführt werden. Der Einfachheit und Übersichtlichkeit halber werde ich hier Variablen außer acht lassen. Diese können weitgehend in kanonischer Weise behandelt werden.
In der weiteren Darlegung werde ich die in Freitag 2005 entwickelte und motivierte Terminologie verwenden, um etwaige, mit der etablierten Terminologie verbundene Vorentscheidungen zu vermeiden.
1. Die minimalsyntaktische Logik
1.1 Syntax
Die minimalsyntaktische Logik wird den Dualismus der Prädikatenlogik durch einen Monismus ersetzen. Darin wird bei Ausdrücken nicht mehr zwischen Relations- und Argumentausdrücken unterschieden. Vielmehr wird jeder Ausdruck sowohl als Relationsausdruck als auch als Argumentausdruck verstanden. Schon Gottlob Frege (Frege 1994/1982) hat erkannt, dass man jeden Ausdruck auf beide Arten auffassen kann; was Relationsausdruck und was Argumentausdruck ist, ist bei Frege in gewisser Weise willkürlich. Allerdings erlaubt Frege keinen Doppelstatus; jeder Ausdruck ist entweder Relationsausdruck oder Argumentausdruck. Ludwig Wittgenstein hat als Erster für einen solchen Doppelstatus argumentiert (Wittgenstein 1922; für die Verteidigung dieser Interpretation siehe Freitag 2005). Wenn die Fregesche Terminologie mit Wittgensteins These verknüpft wird, dann ist jeder Term unvollständig und hat daher Argumentstellen. Jeder Term hat die Form ‚A(∞)’.8 Ich werde solche Ausdrücke ‚sekundäre Inhalte‘ (SI) nennen.9
Ein Satz wird als vollständiger Ausdruck, also als Verknüpfung von sekundären Inhalten verstanden. Ich werde Sätze als ‚primäre Inhalte‘ (PI) beizeichnen. Ein PI hat also die logische Form ‚(x)(y)‘ oder ‚(x)(y)(z)‘, etc. (Der Einfachheit halber werde ich die Klammern von jetzt an weglassen.)
In der minimalsyntaktischen Logik gilt volle kombinatorische Freiheit: Wenn ‚a‘, ‚b‘, ‚c‘ sekundäre Inhalte sind, dann ist ‚ab‘ genauso ein primärer Inhalt wie ‚abc‘ und ‚aa‘. (Angewandt auf die Umgangssprache bedeutet das, dass jede Termzusammenstellung – auch ‚Hans Rudolf‘ oder 'grün ist rot' – in der minimalsyntaktischen Logik als Aussage gilt. Genau das ist beabsichtigt. Erst im zweiten Schritt werden solche Termzusammenstellungen durch geeignete syntaktische Beschränkungen eventuell ausgeschlossen.)
1.2 Semantik
Mit der minimalsyntaktischen Logik haben wir also eine extreme Liberalisierung der syntaktischen Regeln für den Elementarsatz. Wie steht es nun um die Semantik? In der Tarski-Semantik wird den Argumentausdrücken als semantischer Wert ein Gegenstand zugewiesen. Um die Analogie zwischen sekundären Inhalten und Gegenständen (in einem ganz allgemeinem Sinne) zu betonen, nenne ich die Gegenstände ‚sekundäre repräsentierte Inhalte‘ (SRI). Den Relationsausdrücken werden in der Tarski-Semantik nur Extensionen, also Mengen von SRI, zugewiesen. Ich verfahre anders. Jeder SI (also Argument- und Relationsausdrücke) bekommt einen SRI als semantischen Wert, die Intension: (I(x)). Damit entsteht eine ‚egalitäre‘ Semantik – jeder SI wird semantisch gleich behandelt. Dazu bestimme ich eine Menge von geordneten Tupeln von SRI, die Extension (Ext). Die Elemente der Extension, die geordneten Tupel, bestehen aus denjenigen SRI, die zusammen eine Tatsache bilden. Die Wahreit eines Satzes wird nun folgendermaßen aufgefasst: Der Satz ist genau dann wahr, wenn < I(a), I(b)> Ext.
Der große philosophische Vorteil dieser Semantik besteht darin, dass wir so Referenz und Wahrheit auch in der Semantik klar unterscheiden können; die Standard-Tarski-Semanik ist meines Erachtens dafür mitverantwortlich, dass es hier immer wieder zu einer fatalen Vermischung von zwei getrennt zu haltenden Themen kommt, eben weil in der Tarski Semantik den Relationsausdrücken kein Referenzgegestand (keine Intension), sondern nur eine Extension zugeordnet wird und über diese Extension dann auch die Wahrheit bestimmt wird. So werden Referenz und Warheit zwangsläufig vermischt. Weiterhin zeigt uns die hier vertretene Auffassung der Extension, welche Rahmenbedingungen für eine angemessene Antwort auf die Frage, was denn nun Wahrmacher seien (für eine Diskussion von Wahrmachern siehe Freitag 2008), gelten. Und aus der neuen Auffassung der Intension kann die Bestimmung von SI als starren Designatoren, ja als direkt referenziellen Termen, abgelesen werden.
1.3 Vollständigkeit
Die Ausarbeitung der Syntax wird, abgesehen von der oben beschriebenen Liberalisierung der syntaktischen Regeln für atomare Sätze, weitgehend parallel zu der der Prädikatenlogik verlaufen. Einige Änderungen bei den Variablen und vor allem bei der variablen Stelligkeit sind notwendig, sollten aber keine besonderen technischen Probleme bereiten. Als formalen Kalkül für die minimalsyntaktische Logik werde ich ein Standardkalkül (Logische Axiome und Schlussregeln) der Prädikatenlogik (mit den geeigneten Anpassungen) übernehmen.Auch die Semantik der minimalsyntaktischen Logik orientiert sich in oben beschriebener Weise an der Semantik der Prädikatenlogik. Allerdings erfordert die neue Semantik zunächst einmal eine andere Auffassung von Gegenstandsbereichen: Auch ‚Eigenschaften‘ und ‚Relationen‘ sind Teil des Gegenstandsbereichs. Nach Aufstellung der Syntax und Semantik soll im Forschungsprojekt die Vollständigkeit der syntaxfreien Logik bewiesen werden. Aufgrund der syntaktischen und semantischen Parallelen zur Prädikatenlogik ist zu erwarten, dass dies durch eine Adaption der Henkin-Konstruktion geschehen kann.
2. Die syntaktische Beschränkung der minimalsyntaktischen Logik: Die Formlogik
2.1 Allgemeine Charakterisierung der Formlogik
Die minimalsyntaktische Logik stellt wohl die allgemeinste Form einer quantorfähigen und noch immer erststufigen Logik dar.10 Dabei ist es wichtig, dass der Wahrheitswert von Aussagen in der minimalsyntaktischen Logik identisch ist mit dem Wahrheitswert derselben Aussagen in der klassischen Prädikatenlogik. Wenn das Ziel einer Anwendung der Logik nur die Darstellung von Wahrheit oder Nicht-Wahrheit ist, dann gibt es bezogen auf die in der Prädikatenlogik formulierbaren Sätze keine Unterschiede zwischen Prädikatenlogik und minimalsyntaktischer Logik. Da die syntaxfreie Logik syntaktisch einfacher ist, wird sie leichter zu handhaben sein.
Eine Verallgemeinerung der Prädikatenlogik ist schon aus rein theoretischer Sicht ein wünschenswertes Ergebnis, da uns so ein besseres Verständnis der Prädikatenlogik selbst ermöglicht wird. Gleichzeitig gibt uns die minimalsyntaktische Logik eine Logiksystem an die Hand, das von neutraleren ontologischen Voraussetzungen ausgeht.
Die minimalsyntaktische Logik birgt gegenüber der Pädikatenlogik für nicht-modale Zwecke keine Nachteile: Wir können darin alles ausdrücken, was wir in der Prädikatenlogik ausdrücken können. Weiterhin stellt sie die Grundlage für Logiken mit syntaktischen Beschränkungen dar, was für modale Zwecke, also Möglichkeit und Notwendigkeit betreffend, von Bedeutung ist. Jede syntaktische Beschränkung schränkt ja die Menge der wohlgeformten Sätze. Die syntaktische Beschränkung kann so gewählt werden, dass das resultierende System nur kontingente Aussagen zulässt, also modal adäquat ist. Möglichkeit bedeutet dann syntaktische Wohlgeformtheit. Modaloperatoren werden dadurch überflüssig und das philosophische Problem ihrer Interpretation, z.B. in Form einer Ontologie von möglichen Welten, entfällt.
Ist das Ziel eine modal adäquate Logik, so hängt die Art der syntaktischen Beschränkung vom Gegenstandsbereich ab, über den die Sprache Aussagen machen möchte. Hat man nur zwei Typen (‚Formen‘) von SRI – solcherart, dass SRI dieser Typen miteinander kombinierbar sind –, dann werden analog die SI in zwei Typen eingeteilt und eine angemessene syntaktische Bestimmung gegeben. Andere Spezialfälle wären Logiken mit 3, 4, etc. syntaktischen Typen. Wieviele Formen es gibt, hängt dann eben davon ab, über welchen Gegenstandsbereich geredet werden soll. Somit können die Syntaxregeln einer Formlogik nur in Abhängigkeit vom Gegenstandsbereich formuliert werden.
Trotzdem sind die Formen a priori in einem klassischen Sinne. Denn die Formen sind nur abhängig von den Gegenstandstypen, nicht aber von den tatsächlichen Kombinationen der Gegenstände. Form reflektiert die Möglichkeit, aber nicht die Tatsächlichkeit.11 Da die Formlogik nicht allgemein angegeben werden kann, besteht mein Ziel darin, eine Meta-Regel für die Formlogik anzugeben, d.h. zu zeigen, wie für jeden einzelnen Fall die entsprechende Formlogik aufgestellt werden kann.
Wenn aber modale Adäquatheit nicht das Ziel ist, kann man die syntaktischen Regeln beliebig wählen und damit von anderen Zielen abhängig machen. Zum Beispiel kann man die syntaktische Reglementierung so wählen, dass dadurch die Prädikatenlogik erster Stufe als Spezialfall einer syntaktisch beschränkten Logik rekonstruiert wird.
2.2 Formlogik: Ein Beispiel
Zum Schluss noch eine Illustration der Formlogik. Diese Logik soll modal adäquat sein, d.h. genau die kontingenten Sätze zulassen. Diese Sätze hängen i.A. vom gegebenen Gegenstandsbereich ab. Zur Illustration genügt ein sehr einfacher Fall. Gegeben seien die folgenden SI: ‚das Elektron‘ (E), ‚Hans‘ (H), ‚Lisa’ (L)‚ ‚Spin-haben‘ (S), ‚Sich-im-Raum-P-befinden‘ (P), ‚Tanzen‘ (T). Es seien nun genau folgende Aussagen wahr:
(EP) Das Elektron ist im Raum P.
(ES) Das Elektron hat einen Spin.
(HT) Hans tanzt.
Wir bestimmen nun erst die minimalsyntaktische Logik (MSL). Nach unserer Bestimmung sind alle Folgen von SI auch PI. Darunter sind folgende: EP, ES, LT‚ HP, HT, HS, ET. Es sei hier darauf hingewiesen, dass in der MSL neben kontingent wahren und falschen Aussagen auch solche sind, die unmöglicherweise wahr sind: Ein Mensch kann keinen Spin haben und ein Elektron kann nicht tanzen.12 Noch wildere Beispiele wären SI-Folgen wie ETH oder HPLLSETHHTEP. Semantisch geben wir folgende Bestimmungen: Die Interpretation eines SI ‚X‘ sei immer X, also I(‚X‘) = X. Es wird also zum Beispiel der SI ‚Tanzen‘ als referierend auf den SRI (die Eigenschaft) Tanzen bestimmt. Analoges gilt für alle anderen SI. Es zeigt sich hier, dass auf dieser Ebene keine Unterscheidung zwischen Typen von SI gemacht wird. Jeder SI bekommt einen Referenzgegenstand zugewiesen. Sei nun die Extension bestimmt wie folgt: Ext = E, P, E, SH, T. Nun ist ein Satz ‚XY‘ wahr gdw. I(‚X‘), I(‚Y‘) Ext. Es ist nun leicht zu sehen, dass so genau die gewünschten PI wahr sind. Die anderen PI sind nicht wahr. Es sind z.B. ‚Hans ist in Raum P‘ (HP), ‚Lisa tanzt’ (LT), ‘Hans hat einen Spin‘ (HS) und ‚Das Elektron tanzt‘ (ET) ebenso wie die Zeichenfolgen ETH und HPLLSETHHTEP nicht wahr und demzufolge falsch. Während nun aber HP und LT kontingente Sätze sind, sind die SI-Folgen HS und ET genauso wie ETH und HPLLSETHHTEP unmöglicherweise wahr. Um nun eine modal adäquate Logik zu konstruieren, bestimmen wir syntaktische Restriktionen so, dass nur die kontingenten Aussagen – ob wahr oder falsch, ist dabei egal – als PI gelten. In diesem Fall ginge das einfach über eine aufzählende Bestimmung. So könnten wir einfach sagen, dass genau folgende Zeichenfolgen PI sind: EP, ES, HT, LT, HP, LP. Im allgemeinen Fall ist das zumindest unpraktisch, bei unendlich vielen SI vielleicht sogar unmöglich. Deshalb zeigen wir, wie eine solche Auswahl mit Hilfe des Formbegriffs allgemein erfolgen kann.
Folgendes sind die formlogischen Bestimmungen für unseren Fall: Jedem SI wird mit der Formfunktion F eine Form zugewiesen, die hier der Einfachheit halber durch eine natürliche Zahl symbolisiert werden soll: F(E) = 1; F(H) = 2, F(L) = 2, F(S) = 3, F(P) = 4, F(T) = 5.
Im gegebenen Fall haben wir SI von fünf Formen. Es soll beachtet werden, dass die sekundären Inhalte L und H dieselbe Form haben, da sie genau mit denselben SI in PI verknüpft werden können. Hätten wir nun auch mehr Elektronen, dann hätten wir mehr Gegenstände der Form 1, etc. Wir bekommen nun PI der folgenden Form: (1, 4), (1, 3), (2, 5), (2, 4). Haben wir nun mehr SI deren Form einer der obigen entspricht, dann gibt uns diese Liste der Formen der PI genau die kontingenten PI. Wenn wir aber nun die für die MSL gültigen semantischen Bestimmungen übernehmen, bleiben genau dieselben Sätze wahr.
Durch diese syntaktische Beschränkungen bekommen wir genau die intuitiv kontingenten Sätze ohne irgendetwas an der Semantik zu ändern. In einer solchen Formlogik wird also Möglichkeit (im Sinne von Kontingenz) nur syntaktisch betimmt: Modallaussagen werden verstanden als Aussagen über Wohlgeformtheit. Zum Beispiel sagt die Aussage ‚Es ist möglich, dass XYZ‘ danach nichts anderes, als dass die Zeichenfolge ‚XYZ‘ ein PI ist. Modalaussagen sind daher uneigentliche Aussagen über syntaktische Bestimmungen. Es bedarf keiner Modaloperatoren und daher keinerlei zusätzlichen ontologischen Interpretationen. Aber es wird noch etwas anderes deutlich. Die Formen der SI wurden so gewählt, dass sie den Möglichkeiten der korrespondierenden SRI entsprechen. Formale Unterschiede von SI können daher auch auf SRI übertragen werden. Und diese formalen Unterschiede ersetzen nun die traditionelle Unterscheidung zwischen Individuen und Eigenschaften/ Relationen. Es gibt also nicht mehr genau zwei Arten von Gegenständen, sondern soviele Arten, wie es Formen gibt.
Die minimalsyntaktische Logik und die darauf basierende Idee der Formlogik inspirieren also alternative und neutralere ontologische und semantische Standpunkte. Im Forschungsvorhaben stehen zunächst einmal die formallogischen Fragen im Mittelpunkt. Bei einer erhofften schnellen Bearbeitung dieser formallogischen Fragen möchte ich dann zeigen, in welcher Weise diese Logiken für einige aktuelle Problemstellungen in der philosophischen Semantik und Ontologie fruchtbar sind.
4. Literature
ARISTOTELES: De Interpretatione.
FREGE, G. (1994, 1892): „Über Begriff und Gegenstand“. (In G. Patzig (Ed.), G. Frege: Funktion, Begriff, Bedeutung (pp. 66–80). Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht).
FREITAG, W. (2005): The Topology of Knowledge. Dissertation. Universität Konstanz.
FREITAG, W. (2007): Sein. Eine systematische Einführung in die Grundfragen der Ontologie. Vorlesungsskript.
FREITAG, W. (2008): Truthmakers (are indexed combinations). (Aufsatz angenommen).
FREUND, H. (2000): „A complete and consistent formal system for sortals“, Studia Logica 65, 367–81.
GÖDEL, K. (1931): „Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I“. Monatshefte für Mathematik und Physik 38, 173–198.
HENKIN, L. (1949): „The Completeness of the First-Order Functional Calculus“, Journal of Symbolic Logic 14, 159–166.
MACBRIDE, F. (2005): „The particular–universal distinction: A dogma of metaphysics?“, Mind 114, 565–614.
TARSKI, A. (1935): „Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen“, Studia Philosophica I, 261–405.
WITTGENSTEIN, L. (1922): Tractatus Logico-Philosophicus. London, New York: Routledge.
[2] Die syntaktische Liberalisierung bezieht sich nur auf die atomaren Sätze, also auf die Verwendung der nichtlogischen Zeichen. Bezüglich der Verwendung von logischen Zeichen gelten die üblichen syntaktischen Regeln.
[3] Es wird also ein semantischer Realismus vertreten. Die Semantik ist eine referenzielle (keine inferentielle o.Ä.); Referenz spielt die grundlegende Rolle.
[4] Mit dieser Bestimmung von ,Intension‘ und ,Extension‘ weiche ich bewusst von der üblichen ab. Referenz und Extension werden strikt getrennt. Dass die Referenz die Rolle der Intension spielen sollte, wurde in Freitag 2005 ausführlich begründet.
[5] Platons Ideenlehre fußt auf der Unterscheidung zwischen Individuen und Universalien (Eigenschaften). Der /locus classicus/ für diese Unterscheidung findet sich aber erst in Aristoteles, De Interpretatione, 17a38–17b1.
[6] Ich konzentriere mich in meiner Darstellung nur auf die für mich relevanten Elemente und lasse die in einer formalen Ausarbeitung notwendigen Komplikationen außer Acht.
[7] Komplexe Sätze will ich hier nicht betrachten, da sie nicht anders als in der Prädikatenlogik aufgefasst werden; ebensolches gilt für Identitätssätze.
[8] Ich lasse die Komplikation außer Acht, dass Ausdrücke auch auf vielfache Weise unvollständig sein können, was dann so geschrieben werden müsste: ,A(∞)(∞)‘, ,A(∞)(∞)(∞)‘, etc.
[9] Der Begriff ,Inhalt‘ angewandt auf Zeichen mag seltsam anmuten. Er ist motiviert als Gegenbegriff zu dem der Form. Jeder Ausdruck hat eine Form und ist insofern auch Inhalt. Den Unterschied zwischen Bezeichner und Bezeichnetem drücke ich durch die Begriffe ,repräsentierend‘/,repräsentiert‘ aus. Die Auseinanderhaltung dieser beiden Begriffspaare (Form/Inhalt, repräsentierend/repräsentiert) ist für die hier vorgestellten Überlegungen von zentraler Bedeutung.
[10] Es sei hier angefügt, dass diese Logik erststufig ist, obwohl auch über Eigenschaften quantifiziert werden kann. Es kann nur nicht über Extensionen quantifiziert werden, was das System unvollständig machen würde.